Freitag, 21. Oktober 2022

[ #mathematik ] Online üben: Zahlen in Primfaktoren zerlegen


In der Zahlentheorie - das Studium der Zahlen und deren Eigenschaften - hat sich der Begriff der Primzahl als besonders wichtig herausgestellt. 
Wir nennen eine natürliche Zahl die größer als 1 ist eine Primzahl (prim) , wenn sie nur durch 1 und durch sich selbst teilbar. (0 und 1 sind keine Primzahlen!). Die erste Primzahl  (und einzige gerade Zahl) ist 2. Zwei ist nämlich sowohl durch 1 als auch durch sich selber (2) teilbar.
Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw. Bis heute gibt es noch keine Formel zur Ermittlung der Primzahlen. Noch niemand hat eine Regelmäßigkeit in ihrem Auftreten gefunden. Daher sind besonders Tabellen hilfreich. Die Primzahlen unter 500 lauten:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499;

 Primfaktorzerlegung:
Jede natürliche Zahl, die selbst keine Primzahl ist, lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen. Die Zahl 12 besteht aus den Primafktoren 2, 2 und 3 (2 mal 2 mal 3 = 12)

Wir zerlegen die Zahl 360 in ihre Primfaktoren
Zahl
Prim

360
:2
Man beginnt mit der kleinstmöglichen Primzahl, bei geraden Zahlen ist das immer 2 und schreibt das Ergebnis  (180) darunter.
180
:2
Und dann nochmals.
90
:2
Und  dann nochmals.
45
:3
Mit 2 können wir 45 nicht mehr restlos teilen, wir versuchen es mit der nächstgößeren Primzahl , das ist 3 (Teilerregel  bei größeren Zahlen beachten).
15
:3
Und dann nochmals.
5
:5
Fünf lässt sich durch 3 nicht mehr restlos teilen, wir teilen nun durch  die nächste Primzahl, das ist 5.
1

Wenn die Primafktorenzerlegung mit dem Ergebnis 1 endet, dann ist sie abgeschlossen : Das Ergebnis lautet also :  360 = 2.2.2.3.3.5


Wir versuchen es nun mit der Zahl 210. 

 Wir schreiben die Zahl 210 an und setzen daneben einen senkrechten Strich.


210 
105 
35 
7 
1 

 2
 3
 5
 7
  1. Wir teilen 210 (eine gerade Zahl) durch 2 und schreiben neben 210 neben dem senkrechten Strich die Primzahl 2 und unter 210 das Ergebnis der Division durch 2, nämlich 105.
  2. 105 ist durch die Primzahl 2 nicht mehr teilbar. 105 ist aber durch die nächstgrößere Primzahl 3 teilbar. Wir schreiben neben 105 die Primzahl 3 und unter 105 das Teilungsergebnis, nämlich 35.
  3. 35 ist durch die Primzahl 3 nicht mehr restlos teilen. Wir versuche es nun mit der nächstgrößeren, das ist die Primzahl 5. Wir schreiben neben 35 die Primzahl 5 und teilen 35 durch 5. Das Ergebnis, nämlich 7, schreiben wir unter 35. 
  4. 7 ist nicht mehr durch 5 restlos teilbar. Die nächste Primazahl ist 7. Und wie unschwer erkennbar ist lässt sich 7 durch 7 restlos teilen. Wir schreiben also rechts von der senkrechten Linie 7 und schreiben links unter der Sieben das Teilungsergebnis 1. 
  5. Ab dem Augenblick da das Teilungsergebnis 1 lautet, ist die Primfaktorenzerlegung erledigt. Das Ergebnis lesen wir rechts vom Strich senkrecht ab: 2 mal 3 mal 5 mal 7. 210 = 2 . 3 . 5 . 7 
Merke: Man beginnt immer mit der kleinsten passenden Primzahl und versucht es mit dieser solange es geht. Die kleinste Primzahl ist 2 und mit der teilt man solange das Ergebnis eine gerade Zahl ist. Dann folgt man mit der möglichen nächstgrößeren Primzahl.                                                                                    
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