Sonntag, 14. Mai 2023

[ #mathematik ] Den größten gemeinsame Teiler ermitteln

Der ggT ist hier 2.2.2 = 8
Um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier oder mehrerer Zahlen zu ermitteln, helfen wir uns mit der sogenannten Primfaktorenzerlegung. Wir suchen NUR die GEMEINSAMEN Primfaktoren!

ggT = Eigenschaft mindestens zweier Zahlen. Da es sich beim ggT um einen gemeinsamen Teiler handelt, ist klar, dass er immer nur als Eigenschaft von mindestens zwei Zahlen zu betrachten ist. Es wäre sinnlos vom ggT einer einzelnen Zahl zu sprechen. Gemeinsam bedeutet, dass nur Teiler betrachtet werden, die beide Zahlen ohne Rest teilen.
Genaugenommen handelt es sich bei den gemeinsamen Teilern um die Schnittmenge der Mengen aller Teiler beider Zahlen.  
Nachdem wir festgestellt haben, dass eine Zahl mehrere Teiler und zwei Zahlen mehrere gemeinsame Teiler haben können, legen wir jetzt fest, dass uns nur der größte von Ihnen interessiert. Im Bereich der ganzen Zahlen ist damit ein ggT eindeutig festgelegt.

Man kann also nicht nur sagen, dass 6 ein größter gemeinsamer Teiler von 30 und 12 ist, sondern man muss sogar sagen, 6 sei der größte gemeinsame Teiler (es gibt keinen größeren!) von 30 und 12. Diese Eindeutigkeit des ggT wird durch das Attribut größter festgelegt.




 Achtung. Wir beginnen bei der Primzahlzerlegug immer mit der klensten Primzahl. Bei geraden Zahlen ist das immer die Zahl 2! Solange das Ergebnis eine gerade Zahl ist, setzen wir die Zerlegung mit der Zwei fort. Dann versuchen es wir mit der nächstgrößeren Primzahl und zwar auch so lange als sich die Zahl mit dieser ohne Rest zerlegen lässt. 
     
12 geteilt durch die Primzahl 2 ist 6
6   neuerlich geteilt durch die Primzahl 2 ist 3
3   lässt sich durch die Primzahl 2 nicht mehr teilen. Geteilt durch die (nächstgrößere) Primzahl 3 ist das Ergebnis 1. Sie st damit restlos geteilt.

30 geteilt durch die Primzahl ist 15
15 lässt sich diruch die Primzahl 2 nicht mehr teilen. Aber geteilt durch die nächstgrößere Primzahl 3 ist  das Ergebnis 5.
5 lässt sich auch durch die 3 nicht mehr teilem, aber geteilt durch die (nächstgrößere) Primzahl 5 ist 1. Sie ist damit restlos geteilt.

Nochmals schön der Reihe nach:

1. Wir zerlegen zuerst die beiden Zahlen 12 und 30 in Primfaktoren.

12 | 2        30 | 2 
6   | 2        15 | 3
3   | 3          5 | 5
1                 1

2. Nur Primzahlen, die in beiden Zerlegungen vorkommen, werden unterstrichen.

12 | 2        30 | 2 
6   | 2        15 | 3
3   | 3          5 | 5
1                 1
  • In unserem Fall kommt der Faktor 2 in einer Zerlegung 2mal vor, in der anderen Zerlegung nur 1 mal. Man muss ihn daher in jeder Zahl nur 1 mal unterstreichen, den sie kommen "gmeinsam" nur ein mal vor.
  • Der Faktor 3 kommt in jeder  Zerlegung 1 mal vor, daher wird er auf beiden Seiten einmal unterstrichen.
  • Der Faktor 5 kommt in in einer Zerlegung ein mal vor, in der anderen gar nicht vor. Daher wird hier nichts mehr unterstrichen. Wir haben damit nämlich keinen gemeinsamen Faktor.
3. Welche Zahlen wurden nun in beiden Zerlegungen unterstrichen, sind ihnen also "gemeinsam"?
Die gemeinsamen Prim-Faktoren  von 12  und 30 sind also 2 und 3.  (Das sind die Primfaktoren die in beiden Zahlen unterstrichen wurden, also ihnen "gemeinsam" sind, bei beiden gleich oft vorkommen).
4. Sie werden nun miteinander multipliziert, um den größten gemeinsamen Teiler zu erhalten:
2 mal 3 = 6. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 12 und 30 ist daher 6 (SECHS).


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