Montag, 15. Januar 2018

[ #mathematik ] Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ermitteln

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist der größte gemeinsame Teiler (ggT). Beide spielen unter anderem in der Bruchrechnung und der Zahlentheorie eine Rolle.

Es geht um drei Begriffe:

Das Vielfache (1.), das gemeinsame (2.) Vielfache, das kleinste (3.) gemeinsame Vielfache. Das Vielfache einer Zahl ist durch einfaches Multiplizieren errechenbar: Mal 2, mal 3, mal 4, ... . Hier geht es aber um das "gemeinsame Vielfache" also müssen mindestens zwei Zahlen (oder auch mehr) zur Disposition stehen. Und schließlich geht es nicht um irgendein Vielfaches sondern um das KLEINSTE.

Beispiel: kgV (12,18) = 36 
1. Die Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
    Die Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
2. Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …
3. Das kleinste von diesen gemeinsamen Vielfachen ist aber nur 36!

Die einfachste Ermittlung geht bei nicht allzugroßen Zahlen wie im obigen Beispiel. Man multipliziert mit 2, 3, 4, ... und sucht die (kleinste) Zahl die ein Vielfaches der verwendeten Zahlen darstellen. Die Reihe kann aber auch bei kleinen Zahlen ganz schön lang und umständlich und damit mit Flüchtigkeitsfehler behaftet werden.


Wie bei der Ermittlung des größten gemeinsame Teilers (ggT) hilft man sich bei der Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) zweier oder mehrerer Zahlen mit der Primfaktorenzerlegung:
Das kgV muss alle vorkommenden Primfaktoren enthalten, die gemeinsamen
Primfaktoren sind aber jeweils nur einmal im kgV enthalten. Das kgV zweier teilerfremder Zahlen ist gleich dem Produkt dieser Zahlen.
Und so wird es gemacht:

1. Wir zerlegen zuerst die beiden Zahlen 36 und 60 in Primfaktoren:

36 | 2            60 | 2
18 | 2            30 | 2
9  | 3             15 | 3
3  | 3               5 | 5
1  |                   1 |

2. Die gemeinsamen Primzahlen werden unterstrichen. Also zweimal die Zwei und einmal die Drei bei beiden Zahlen

36 | 2            60 | 2
18 | 2            30 | 2
9  |  3            15 | 3
3  | 3               5 | 5
1  |                  1 |

3.Vergleiche immer die Primfaktoren von der größeren zur kleineren Zahl und hake sie dort ab  (oder streiche sie durch) wenn sie in beiden Zahlen vorkommt.

36 | 2            60 | 2
18 | 2            30 | 2
9  |  3            15 | 3
3  |  3              5 | 5
1  |                  1 |

3. Das kgV ist das Produkt aller NICHT abgehakten (nicht durchgestrichenen) Primfaktoren
In unserem Beispiel sind das die nicht abgehakte Primzahl der Zahl 60, nämlich 5 und die Primfaktoren der kleineren Zahl 2, 2, 3,und 3.

Das kgV (36, 60) ist also 2 mal 2 mal 3 mal 3 mal 5 = 180


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