Freitag, 9. Februar 2018

[ #mathematik ] Menge der natürlichen Zahlen: ℕ


Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Formelzeichen  ℕ  abgekürzt. Sie sind "gottgegeben" , also in der Natur vorhanden. 

Die Null.  Wir können beispielsweise 5 Äpfel zählen (es sind dann auch fünf). Manche Mathematikbücher zählen die 0 deshalb nicht zu den natürlichen Zahlen, weil sie ja auch in der Natur nicht vorkommt. Schon der deutsche Mathematiker Leopold Kronecker sagte: "Die natürlichen Zahlen hat uns Gott gegeben, alles andere ist Menschenwerk."

Die indischen Ziffern mit ihrem Dezimalsystem, also mit der NULL werden erstmals vom syrischen Bischof und Gelehrten Severus Sebokht im 7. Jahrhundert beschrieben, und mit dem Werk "Über das Rechnen mit indischen Ziffern " (um 825) von al-Chwarizmi (nach ihm sprechen wir auch von einem Algorithmus) einem choresmischen Mathematiker, über ein großes Gebiet verbreitet. Er führte damit die Ziffer Null (arabisch.: sefr) aus dem indischen in das arabische Zahlensystem und damit in alle modernen Zahlensysteme ein.

   = (0), 1, 2, 3, 4, 5, ...

Die natürlichen Zahlen benutzen wir im Alltag, um Gegenstände zu zählen. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. (Häufig wird die 0 auch dazu gerechnet.)

Veranschaulichung auf dem Zahlenstrahl:



Einteilung: Man kann die natürlichen Zahlen (ℕ) auf verschiedene Art einteilen, z.B. in
  • gerade Zahlen (2,4, 6, 8, 10, 12 ...) und
  • ungerade Zahlen (1, 3 ,5, 7, 9, 11 ...)
  • Primzahlen*  ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... ) und 
  • zusammengesetzte Zahlen** (4, 6, 8, 9, 10, 12, ... ).
*Primzahlen. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Die Primzahlen sind damit innerhalb der Menge   der natürlichen Zahlen dadurch charakterisiert, dass jede von ihnen genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat: die 1 und sich selber. Die einzige gerade natürliche Zahl die eine Primzahl ist, ist 2.
Damit folgt, dass alle anderen Primzahlen ungerade sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...

**Zusammengesetzte Zahlen. Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, deren Primfaktorzerlegung aus mindestens zwei Faktoren besteht. Sie sind damit das Gegenstück zu den Primzahlen. Daher:
  • Mit Ausnahme der Zahlen 0 und 1 ist jede natürliche Zahl entweder eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl.
  • Jede gerade Zahl außer der 2 ist zusammengesetzt.
  • Die Zahlen 0 und 1 sind weder Primzahlen, und 0, 1 und 2 sind keine zusammengesetzte Zahlen. .
  • Die Folge der zusammengesetzten Zahlen beginnt mit: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25... 
  • Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich in Primfaktoren zerlegen.

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